支持向量机 (SVM) 算法：机器学习中的分类利器 (支持向量机的基本原理)

基本原理

支持向量机 (SVM)算法是一种监督式机器学习算法，主要用于解决分类问题。其基本原理是将数据点映射到高维特征空间，并找到将不同类别数据点分开的超平面，即支持向量。

数学原理

设给定数据集 {(x₁, y₁), ..., (x _n , y _n )}，其中 x _i ∈ R ^d 是输入向量，y _i ∈ {-1, 1} 是目标标签，SVM的目标是找到一个决策超平面

w ^T x + b = 0

该超平面将数据点分为两类，一类为 w ^T x + b > 0，另一类为 w ^T x + b < 0。SVM 通过最大化决策超平面到最近的数据点的距离（即支持向量）来找到最佳超平面。

对偶问题

SVM的原始优化问题是一个二次规划问题，求解起来比较复杂。通常情况下，我们会将其转化为一个等价的对偶问题，该问题更容易求解。

对偶问题可以表述为：

min½α ^T Qα - e ^T α

s.t. 0 ≤ α _i ≤ C, ∑ _i=1 ⁿ α _i y _i = 0

其中 Q = YY ^T ，Y 是目标标签的对角矩阵，C 是一个正则化参数。

核函数

支持向量机的基本原理

数据映射、寻找最优超平面等。 1、将原始数据映射到一个更高维度的特征空间，这一过程被称为核函数。 核函数可以将低维度的数据映射到高维度，使得原本在低维度上不可分的数据在高维度上变得可分。 2、在映射后的高维空间中，寻找一个超平面（即一条直线或者一个平面），使得这个超平面能够将数据完全正确地分为两类。 这个超平面就被称为支持向量机。

支持向量机（SVM）——原理篇

支持向量机（SVM）——svm原理并不难理解，其可以归结为一句话，就是最大化离超平面最近点（支持向量）到该平面的距离。

支持向量机（support vectorQmachine，简称SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是在特征空间上的间隔最大化的线性分类器，其学习模型的策略是间隔最大化，可转化为一个求解凸二次规划的最优化问题。训练后的线性分类器模型不仅保证了每个实例的预测类别准确性，而且还提高了每个实例的预测类别的置信度，从而增强了分类器模型的泛化能力。

SVM的的学习策略就是间隔最大化，可形式化为一个求解凸二次规划的问题，也等价于正则化的合页损失函数的最小化问题。SVM的的学习算法就是求解凸二次规划的最优化算法。所以，SVM学习的基本想法是求解能够正确划分训练数据集并且几何间隔最大的分离超平面。

对于输入空间中的非线性分类问题，可以通过非线性变换将它转化为某个维特征空间中的线性分类问题，在高维特征空间中学习线性支持向量机。由于在线性支持向量机学习的对偶问题里，目标函数和分类决策函数都只涉及实例和实例之间的内积，所以不需要显式地指定非线性变换，而是用核函数替换当中的内积。

支持向量机支持的模型有三类，分别是线性可分支持向量机、线性支持向量机、非线性支持向量机。

当训练数据线性可分时，通过硬间隔最大化，学习一个线性分类器，即线性可分支持向量机。当大部分训练数据线性可分，只有极少数数据不可分时，可通过软间隔最大化，学习一个线性分类器，即线性支持向量机。当训练数据线性不可分时，通过使用核技巧及软间隔最大化，学习一个非线性支持向量机。

支持向量机(SVM)基本原理

看了很多关于SVM的博客，但是常常只能保存书签之后看，有时候有的博客就突然没了，这里就作为搬运工总结一下之后自己看吧。主要内容来自于：支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）

线性回归 给定数据集, 其中, ,线性回归试图学习到一个线性模型,尽可能地输出正确标记.

如果我们要用线性回归算法来解决一个分类问题,(对于分类,y 取值为 0 或者 1),但如果你使用的是线性回归,那么假设函数的输出值可能远大于 1,或者远小于 0,就算所有训练样本的标签 y 都是 0 或 1但是如果算法得到的值远大于 1 或者远小于 0 的话,就会感觉很奇怪。所以我们在接下来的要研究的算法就叫做逻辑回归算法,这个算法的性质是:它的输出值永远在 0 到 1 之间。

所以逻辑回归就是一个分类算法,这个算法的输出值永远在 0 到 1 之间. 我们先看二分类的LR,具体做法是:利用sigmoid 函数,将每一个点的回归值映射到0,1之间函数特性如下:

如图所示,令, 当 z > 0, z 越大, sigmoid 返回值越接近1(但永远不会超过1). 反之,当z < 0时,z 越小, sigmoid 返回值越接近0(但永远不会小于0).

支持向量机 ，因其英文名为support vector machine，故一般简称SVM，通俗来讲，它是一种二类分类模型，其基本模型定义为 特征空间 上的间隔最大的线性分类器，其学习策略便是间隔最大化，最终可转化为一个凸二次规划问题的求解。

线性分类器 给定一些数据点，它们分别属于两个不同的类，现在要找到一个线性分类器把这些数据分成两类。如果用x表示数据点，用y表示类别（y可以取1或者-1，分别代表两个不同的类），一个线性分类器的学习目标便是要在n维的数据空间中找到一个超平面（hyper plane），这个超平面的方程可以表示为（ wT中的T代表转置）：

logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型，而这个模型是将特性的线性组合作为自变量，由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此，使用logistic函数（或称作sigmoid函数）将自变量映射到(0,1)上，映射后的值被认为是属于y=1的概率。 假设函数: 其中x是n维特征向量，函数g就是logistic函数。 图像为：

在超平面w x+b=0确定的情况下，|w x+b|能够表示点x到距离超平面的远近，而通过观察w x+b的符号与类标记y的符号是否一致可判断分类是否正确，所以，可以用(y (w*x+b))的正负性来判定或表示分类的正确性。于此，我们便引出了函数间隔（functional margin）的概念。 定义函数间隔（用表示）为

而超平面(w，b)关于T中所有样本点(xi，yi)的函数间隔最小值（其中，x是特征，y是结果标签，i表示第i个样本），便为超平面(w, b)关于训练数据集T的函数间隔： 但这样定义的函数间隔有问题，即如果成比例的改变w和b（如将它们改成2w和2b），则函数间隔的值f(x)却变成了原来的2倍（虽然此时超平面没有改变），所以只有函数间隔还远远不够。

事实上，我们可以对法向量w加些约束条件，从而引出真正定义点到超平面的距离--几何间隔（geometrical margin）的概念。

假定对于一个点 x ，令其垂直投影到超平面上的对应点为 x0 ，w 是垂直于超平面的一个向量，为样本x到超平面的距离，如下图所示：

根据平面几何知识，有 其中||w||为w的二阶范数（范数是一个类似于模的表示长度的概念），是单位向量（一个向量除以它的模称之为单位向量）。

又由于x0 是超平面上的点，满足 f(x0)=0，代入超平面的方程,可得，即

随即让此式的两边同时乘以，再根据和，即可算出： 为了得到的绝对值，令乘上对应的类别 y，即可得出几何间隔（用表示）的定义： 从上述函数间隔和几何间隔的定义可以看出：几何间隔就是函数间隔除以||w||，而且函数间隔y (wx+b) = y f(x)实际上就是|f(x)|，只是人为定义的一个间隔度量，而几何间隔|f(x)|/||w||才是直观上的点到超平面的距离。

对一个数据点进行分类，当超平面离数据点的“间隔”越大，分类的确信度（confidence）也越大。所以，为了使得分类的确信度尽量高，需要让所选择的超平面能够最大化这个“间隔”值。这个间隔就是下图中的Gap的一半。

通过由前面的分析可知：函数间隔不适合用来最大化间隔值，因为在超平面固定以后，可以等比例地缩放w的长度和b的值，这样可以使得的值任意大，亦即函数间隔可以在超平面保持不变的情况下被取得任意大。但几何间隔因为除上了，使得在缩放w和b的时候几何间隔的值是不会改变的，它只随着超平面的变动而变动，因此，这是更加合适的一个间隔。换言之，这里要找的最大间隔分类超平面中的“间隔”指的是几何间隔。

于是最大间隔分类器（maximum margin classifier）的目标函数可以定义为 同时需满足一些条件，根据间隔的定义，有 回顾下几何间隔的定义，可知：如果令函数间隔等于1（之所以令等于1，是为了方便推导和优化，且这样做对目标函数的优化没有影响），则有 = 1 / ||w||且，从而上述目标函数转化成了： 相当于在相应的约束条件下，最大化这个1/||w||值，而1/||w||便是几何间隔。

据了解，

由于这个问题的特殊结构，还可以通过拉格朗日对偶性（Lagrange Duality）变换到对偶变量 (dual variable) 的优化问题，即通过求解与原问题等价的对偶问题（dual problem）得到原始问题的最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题。

那什么是拉格朗日对偶性呢？简单来讲，通过给每一个约束条件加上一个拉格朗日乘子,（Lagrange multiplier），定义拉格朗日函数（通过拉格朗日函数将约束条件融合到目标函数里去，从而只用一个函数表达式便能清楚的表达出我们的问题）

然后令： 容易验证，当某个约束条件不满足时，例如，那么显然有（只要令即可）。而当所有约束条件都满足时，则最优值为，亦即最初要最小化的量。

因此，在要求约束条件得到满足的情况下最小化，实际上等价于直接最小化（当然，这里也有约束条件，就是 ≥0,i=1,…,n） ，因为如果约束条件没有得到满足，会等于无穷大，自然不会是我们所要求的最小值。

具体写出来，目标函数变成了：

这里用表示这个问题的最优值，且和最初的问题是等价的。如果直接求解，那么一上来便得面对w和b两个参数，而又是不等式约束，这个求解过程不好做。不妨把最小和最大的位置交换一下，变成：

交换以后的新问题是原始问题的对偶问题，这个新问题的最优值用来表示。而且有≤，在满足某些条件的情况下，这两者相等，这个时候就可以通过求解对偶问题来间接地求解原始问题。

换言之，之所以从minmax的原始问题，转化为maxmin的对偶问题，一者因为是的近似解，二者，转化为对偶问题后，更容易求解。

下面可以先求L 对w、b的极小，再求L对的极大。

KKT条件 ≤在满足某些条件的情况下，两者等价，这所谓的“满足某些条件”就是要满足KKT条件。

要让两者等价需满足strong duality （强对偶），而后有学者在强对偶下提出了KKT条件，且KKT条件的成立要满足constraint qualifications，而constraint qualifications之一就是Slater条件。所谓Slater 条件，即指：凸优化问题，如果存在一个点x，使得所有等式约束都成立，并且所有不等式约束都严格成立（即取严格不等号，而非等号），则满足Slater 条件。对于此处，Slater 条件成立，所以≤可以取等号。

一般地，一个最优化数学模型能够表示成下列标准形式： 其中，f(x)是需要最小化的函数，h(x)是等式约束，g(x)是不等式约束，p和q分别为等式约束和不等式约束的数量。 KKT条件的意义：它是一个非线性规划（Nonlinear Programming）问题能有最优化解法的必要和充分条件。

而KKT条件就是指上面最优化数学模型的标准形式中的最小点 x* 必须满足下面的条件：

我们这里的问题是满足 KKT 条件的（首先已经满足Slater条件，再者f和gi也都是可微的，即L对w和b都可导），因此现在我们便转化为求解第二个问题。

也就是说，原始问题通过满足KKT条件，已经转化成了对偶问题。而求解这个对偶学习问题，分为3个步骤：首先要让L(w，b，a) 关于 w 和 b 最小化，然后求对的极大，最后利用SMO算法求解对偶问题中的拉格朗日乘子。

对偶问题求解的3个步骤

将以上结果代入之前的L：

得到：

具体推导过程是比较复杂的，如下所示：

最后，得到：

“倒数第4步”推导到“倒数第3步”使用了线性代数的转置运算，由于ai和yi都是实数，因此转置后与自身一样。“倒数第3步”推导到“倒数第2步”使用了(a+b+c+…)(a+b+c+…)=aa+ab+ac+ba+bb+bc+…的乘法运算法则。最后一步是上一步的顺序调整。

从上面的最后一个式子，我们可以看出，此时的拉格朗日函数只包含了一个变量，那就是（求出了便能求出w，和b，由此可见，则核心问题：分类函数也就可以轻而易举的求出来了）。

上述式子要解决的是在参数上求最大值W的问题，至于和都是已知数。要了解这个SMO算法是如何推导的，请跳到下文第3.5节、SMO算法。

总结 让我们再来看看上述推导过程中得到的一些有趣的形式。首先就是关于我们的 hyper plane ，对于一个数据点 x 进行分类，实际上是通过把 x 带入到算出结果然后根据其正负号来进行类别划分的。而前面的推导中我们得到: 因此分类函数为：

这里的形式的有趣之处在于，对于新点 x的预测，只需要计算它与训练数据点的内积即可（表示向量内积），这一点至关重要，是之后使用 Kernel 进行非线性推广的基本前提。此外，所谓 Supporting Vector 也在这里显示出来——事实上，所有非Supporting Vector 所对应的系数都是等于零的，因此对于新点的内积计算实际上只要针对少量的“支持向量”而不是所有的训练数据即可。

为什么非支持向量对应的等于零呢？直观上来理解的话，就是这些“后方”的点——正如我们之前分析过的一样，对超平面是没有影响的，由于分类完全有超平面决定，所以这些无关的点并不会参与分类问题的计算，因而也就不会产生任何影响了。

回忆一下我们通过 Lagrange multiplier得到的目标函数：

注意到如果 xi 是支持向量的话，上式中红颜色的部分是等于 0 的（因为支持向量的 functional margin 等于 1 ），而对于非支持向量来说，functional margin 会大于 1 ，因此红颜色部分是大于零的，而又是非负的，为了满足最大化，必须等于 0 。这也就是这些非Supporting Vector 的点的局限性。

至此，我们便得到了一个maximum margin hyper plane classifier，这就是所谓的支持向量机（Support Vector Machine）。当然，到目前为止，我们的 SVM 还比较弱，只能处理线性的情况，不过，在得到了对偶dual 形式之后，通过 Kernel 推广到非线性的情况就变成了一件非常容易的事情了(通过求解对偶问题得到最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题”)。

事实上，大部分时候数据并不是线性可分的，这个时候满足这样条件的超平面就根本不存在。在上文中，我们已经了解到了SVM处理线性可分的情况，那对于非线性的数据SVM咋处理呢？对于非线性的情况，SVM 的处理方法是选择一个核函数 κ(⋅,⋅) ，通过将数据映射到高维空间，来解决在原始空间中线性不可分的问题。

具体来说，在线性不可分的情况下，支持向量机首先在低维空间中完成计算，然后通过核函数将输入空间映射到高维特征空间，最终在高维特征空间中构造出最优分离超平面，从而把平面上本身不好分的非线性数据分开。如图所示，一堆数据在二维空间无法划分，从而映射到三维空间里划分：

而在我们遇到核函数之前，如果用原始的方法，那么在用线性学习器学习一个非线性关系，需要选择一个非线性特征集，并且将数据写成新的表达形式，这等价于应用一个固定的非线性映射，将数据映射到特征空间，在特征空间中使用线性学习器，因此，考虑的假设集是这种类型的函数： 这里ϕ：X->F是从输入空间到某个特征空间的映射，这意味着建立非线性学习器分为两步：

首先使用一个非线性映射将数据变换到一个特征空间F， 然后在特征空间使用线性学习器分类。

而由于对偶形式就是线性学习器的一个重要性质，这意味着假设可以表达为训练点的线性组合，因此决策规则可以用测试点和训练点的内积来表示： 如果有一种方式可以在特征空间中直接计算内积〈φ(xi · φ(x)〉，就像在原始输入点的函数中一样，就有可能将两个步骤融合到一起建立一个非线性的学习器，这样直接计算法的方法称为核函数方法： 核是一个函数K，对所有x，z，满足，这里φ是从X到内积特征空间F的映射。

来看个核函数的例子。如下图所示的两类数据，分别分布为两个圆圈的形状，这样的数据本身就是线性不可分的，此时咱们该如何把这两类数据分开呢(下文将会有一个相应的三维空间图)？

事实上，上图所述的这个数据集，是用两个半径不同的圆圈加上了少量的噪音生成得到的，所以，一个理想的分界应该是一个“圆圈”而不是一条线（超平面）。如果用和来表示这个二维平面的两个坐标的话，我们知道一条二次曲线（圆圈是二次曲线的一种特殊情况）的方程可以写作这样的形式： 注意上面的形式，如果我们构造另外一个五维的空间，其中五个坐标的值分别为，那么显然，上面的方程在新的坐标系下可以写作： 关于新的坐标，这正是一个 hyper plane 的方程！也就是说，如果我们做一个映射，将 按照上面的规则映射为，那么在新的空间中原来的数据将变成线性可分的，从而使用之前我们推导的线性分类算法就可以进行处理了。这正是 Kernel 方法处理非线性问题的基本思想。

再进一步描述 Kernel 的细节之前，不妨再来看看上述例子在映射过后的直观形态。当然，你我可能无法把 5 维空间画出来，不过由于我这里生成数据的时候用了特殊的情形，所以这里的超平面实际的方程是这个样子的（圆心在轴上的一个正圆） 因此我只需要把它映射到，这样一个三维空间中即可，下图即是映射之后的结果，将坐标轴经过适当的旋转，就可以很明显地看出，数据是可以通过一个平面来分开的

核函数相当于把原来的分类函数：

映射成：

而其中的可以通过求解如下 dual 问题而得到的：

这样一来问题就解决了吗？似乎是的：拿到非线性数据，就找一个映射

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